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矩阵可逆的一种刻画方式
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发布时间:2019-03-08

本文共 551 字,大约阅读时间需要 1 分钟。

问题

若矩阵A满足 A + A T = I A+A^{\rm{T}}=I A+AT=I,则A可逆。

证明一

反证法。假设A不可逆,则

∃ x 0 ≠ 0 \exists{x_0}\ne0 x0=0,使得 A x 0 = 0 A{x_0}=0 Ax0=0,则
x 0 A T = ( A x 0 ) T = 0 T {x_0}{A^{\rm{T}}} = {(A{x_0})^{\rm{T}}} = {0^{\rm{T}}} x0AT=(Ax0)T=0T

∴ 0 ≠ x 0 T x 0 = x 0 T ( A + A T ) x 0 = x 0 T A x 0 + x 0 T A T x 0 = x 0 T 0 + 0 T x 0 = 0 \therefore 0 \ne x_0^{\rm{T}}{x_0} = x_0^{\rm{T}}(A + {A^{\rm{T}}}){x_0} = x_0^{\rm{T}}A{x_0} + x_0^{\rm{T}}{A^{\rm{T}}}{x_0} = x_0^{\rm{T}}0 + {0^{\rm{T}}}{x_0} = 0 0=x0Tx0=x0T(A+AT)x0=x0TAx0+x0TATx0=x0T0+0Tx0=0

矛盾,所以A可逆。

证明二

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